＜証明問題＞　問題3ー解答　　　　　INDEXへ戻る　　　　　　問題3へ

＜問い＞下の図のように、線分ABを直径とする半円の周上にAC＝BCとなる 点Cをとる。また、弧AC上の点をDとし、線分BDとACの交点をPとする。点Aを 通り、線分ACに垂直な直線を引き、その直線上にCP＝AQとなる点Qを、 線分CQとBDとの交点をR、線分CQとABの交点をSとする。 このとき、CR⊥BPであることを証明せよ。

〔証明〕 △AQCと△CPBにおいて、 仮定より、AC＝CB…�@ 　　　　　　AQ＝CP…�A 直径に対する円周角は90度だから、 ∠PCB＝90度 よって、∠QAC＝∠PCB＝90度…�B �@、�A、�Bより、2辺とその間の角がそれぞれ等しいから、 △AQC≡△CPB ゆえに、∠ACQ＝∠CBP…�C �Bより、CB〃AQだから、 ∠AQC＝∠BCR…�D �C、�Dより、 ∠ACQ＋∠AQC＝∠CBP＋∠BCR 三角形の内角の和は180度だから、 △AQCで、∠ACQ＋∠AQC＝180度−90度＝90度 よって、∠CBP＋∠BCR＝90度 △BCRにおいて、∠CRB＝180度−90度＝90度になるから、 CR⊥BP

〔解説〕＜難レベル＞

CR⊥BPをどのように証明していけばいいのか。 つまり、∠CRB＝90度を証明できればいいのだけど、その前に、 △AQC≡△CPBをます証明する。こういう段取りを考えることが、 入試の応用レベルの証明である。 丸暗記できるぐらい繰り返して考えれば、証明のポイントと流れが 見えてくる。

〔寸評〕

・垂直であることの証明、3点が1直線上にあることの証明、こういう 問いにも対応できる能力を、中2のあいだにも磨いていきたい。 もちろん中3でも構わないが、入試前にバタバタやるようではとても 間に合わないと思ったほうがよい。まだまだ図形でも覚えていくこと ことが、たくさんあるから。