| トッポ先生の公立高校・入試図形問題解説 問題へ戻る | |
| 〔解答〕〜制限時間：15分 | |
| 下図のように、AB＝６�僉�BC＝８�僂猟絞�形ABCDと、長方形ABCDの対角線ACを斜辺とする直角二等辺三角形EACがある。辺ECと辺ADの交点をFとし、線分をひく。 |
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（1）△EAF∽△DCFを証明せよ。 △EAF∽△DCFにおいて、 直角二等辺三角形の頂角と長方形の内角より、 ∠AEF＝∠CDF＝90°・・・�� また、∠EFA＝∠DFC（対頂角）・・・�� � ↓△茲蝓�2組の角がそれぞれ等しいから、 △EAF∽△DCF （2）辺ECの長さを求めよ。 （注：二乗の印はここでは、”で表すこととします。） △ABCで、AC＝√6”＋8”＝10 （いちいち計算しなくと も、3：4：5や6：8：10は暗記しておくものだけど。） △EACは直角二等辺三角形だから、EC：10＝１：√2 これを計算して、EC＝5√2 （3）△FACの面積を求めよ。 △FACの面積をX平方�僂箸垢襦� △EAF＝△EAC−X △DCF＝△ADC−X △EAC＝EC×EA×1/2＝5√2×5√2×1/2＝25 △DCF＝AD×DC×1/2＝8×6×1/2＝24 よって、△EAF＝25−X △DCF＝24−X （1）より△EAF∽△DCFで、相似比はEA：DC＝5√2：6 相似比の2乗が面積比だから、△EAF：△DCF＝ （5√2）”：6”＝50：36＝25：18 よって、25−X：24−X＝25：18 これを計算して、X＝150/7 つまり、△FAC＝150/7（7分の150） （4）線分EDの長さを求めよ。 △EADで点Eより辺ADに垂線を下ろし、交点をHとする。 ∠AEC＝∠ADC＝90°だから、4点A、E、D、Cは同一 円周上にある。ここで4点A、E、D、Cを通る円を書く。 （ただし、∠ABC＝90°だから点Bも通る。） 弧AEに対する円周角は等しいから、∠EDH＝∠ECA △EACは直角二等辺三角形だから∠ECA＝45° よって、∠EDH＝45°つまり、△EHDも直角二等辺三角 形になるので、EH＝DHである。またED＝√２EHとなる。 ここでEH＝DH＝aセンチとすると、AH＝8−aで、△EAD で3平方の定理より、（8−a）”＋a”＝（5√2）” これを展開し、因数分解すると、（a−1）（a−7）＝0とな り、a＝1，7 a＝7は題意より不適。よってa＝1、つまり EH＝1 ED＝√２EHだから、ED＝√２ |
| （4）の別解 △EADで点Eより辺ADに垂線を下ろし、交点をHとする。 △FACにおいて、底辺をAFとみると、高さはDCになるから、AF×DC×1/2＝△FAC AF×6×1/2＝150/7 これを計算して、AF＝50/7 また△EAF＝△EAC−150/7＝25−150/7＝25/7 △EAFの面積において、底辺をAFでみると高さはEHになるから、 50/7×EH×1/2＝25/7 これを計算して、EH＝1 あとは右の解答と同様である。4点を通る円を描き、△EHDも直角二等辺三角形になるので、ED＝√２EHとなり、EH＝1を当てはめてED＝√２。 |
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