トッポ先生の公立高校・入試図形問題解説        問題へ戻る
 〔解答〕〜制限時間:15分  
下図のように、AB=6僉BC=8僂猟絞形ABCDと、長方形ABCDの対角線ACを斜辺とする直角二等辺三角形EACがある。辺ECと辺ADの交点をFとし、線分をひく。



(1)△EAF∽△DCFを証明せよ。
 △EAF∽△DCFにおいて、
 直角二等辺三角形の頂角と長方形の内角より、
 ∠AEF=∠CDF=90°・・・
 また、∠EFA=∠DFC(対頂角)・・・
  ↓△茲蝓2組の角がそれぞれ等しいから、
 △EAF∽△DCF
 
(2)辺ECの長さを求めよ。
 (注:二乗の印はここでは、”で表すこととします。)

 △ABCで、AC=√6”+8”=10 (いちいち計算しなくと
 も、3:4:5や6:8:10は暗記しておくものだけど。)
 △EACは直角二等辺三角形だから、EC:10=1:√2
 これを計算して、EC=5√2

(3)△FACの面積を求めよ。
 △FACの面積をX平方僂箸垢襦
 △EAF=△EAC−X △DCF=△ADC−X
 △EAC=EC×EA×1/2=5√2×5√2×1/2=25
 △DCF=AD×DC×1/2=8×6×1/2=24
 よって、△EAF=25−X △DCF=24−X
 (1)より△EAF∽△DCFで、相似比はEA:DC=5√2:6
 相似比の2乗が面積比だから、△EAF:△DCF=
 (5√2)”:6”=50:36=25:18
 よって、25−X:24−X=25:18
 これを計算して、X=150/7
 つまり、△FAC=150/7(7分の150)

(4)線分EDの長さを求めよ。
 △EADで点Eより辺ADに垂線を下ろし、交点をHとする。
 ∠AEC=∠ADC=90°だから、4点A、E、D、Cは同一
 円周上にある。ここで4点A、E、D、Cを通る円を書く。
 (ただし、∠ABC=90°だから点Bも通る。)
 弧AEに対する円周角は等しいから、∠EDH=∠ECA
 △EACは直角二等辺三角形だから∠ECA=45°
 よって、∠EDH=45°つまり、△EHDも直角二等辺三角
 形になるので、EH=DHである。またED=√2EHとなる。
 ここでEH=DH=aセンチとすると、AH=8−aで、△EAD
 で3平方の定理より、(8−a)”+a”=(5√2)” 
 これを展開し、因数分解すると、(a−1)(a−7)=0とな
 り、a=1,7 a=7は題意より不適。よってa=1、つまり
 EH=1 ED=√2EHだから、ED=√2

(4)の別解
 △EADで点Eより辺ADに垂線を下ろし、交点をHとする。
 △FACにおいて、底辺をAFとみると、高さはDCになるから、AF×DC×1/2=△FAC AF×6×1/2=150/7 これを計算して、AF=50/7
 また△EAF=△EAC−150/7=25−150/7=25/7
 △EAFの面積において、底辺をAFでみると高さはEHになるから、
50/7×EH×1/2=25/7 これを計算して、EH=1
 あとは右の解答と同様である。4点を通る円を描き、△EHDも直角二等辺三角形になるので、ED=√2EHとなり、EH=1を当てはめてED=√2。
■解説&アドバイス
・(1)と(2)はきっちりできること、しかもすばやく。
 証明の説明はできる詳しく書くべし。
 「直角二等辺三角形の頂角と長方形の内角」より、 ∠AEF=∠CDF=90°
 ∠EFA=∠DFC(対頂角) あるいは、対頂角は等しいから、∠EFA=∠DFC

・(3)は、(1)と(2)の結果を必ず使って考えるのが基本中の基本。
 ※(1)の△EAF∽△DCFから、「相似比の2乗が面積比」を利用する! 
 これは入試でよく使う定番的な考え方。
 ☆求めたい△FACの面積をX平方僂箸垢襪函□EAF=△EAC−Xで、△DCF=△ADC−Xで
 表せ、△EACと△DCFはすぐ求められるので、△EAF=25−X、△DCF=24−Xとなり、上記
 面積比の比例式に代入して求める、というテクニックを身につけよう。

・(4)は(3)よりさらに一段難しく、入試本番で5分かけてもまったく攻略の糸口が見つからなけ
 れば、あっさり手を引き捨てる問題である。

 しかし、公立入試の古くから続くいわゆる難問レベルのひとつに、この種の解法パターンと攻
 略ノウハウはあるので、いまは当然それを吸収する努力を積むべし。

☆∠EDAが45°であることを気づくこと! その根拠もわかること。 
 (4点A、E、D、Cは同一円周上にある理由を理解、暗記。円が描け、円周角が等しくなり、
 ∠EDAは45°になる。)
☆点Eから辺ADに垂線を下ろす! この補助線が引ける力をぜひ身につけたい。 交点をHと
 する。 △EHDは直角二等辺三角形になる。直角を挟む等しい2辺の長さが求まれば、問題
 の斜辺の長さも求まる。
☆EH=DH=a僂箸垢襦AH=8−aとなり、「△EADで3平方の定理を使い」、式が組み立てら
 れるから、それを計算していくと最終EDが出る。<別解もあり>